Родился 10 мая 1961 года в посёлке Сосновка Малопургинского района Удмуртской АССР. В 1983 году окончил Ижевский механический институт по специальности «Конструирование и производство радиоаппаратуры», в 1997 году — Уральскую академию государственной службы по специальности «Государственное и муниципальное управление».
С 1983 по 1988 годы работал мастером на Ижевском мотозаводе, после чего на протяжении нескольких лет занимался молодёжной политикой в городе и республике: в 1988—1990 годах — 2-й секретарь Октябрьского райкома ВЛКСМ Ижевска, в 1990—1995 — заведующий отделом по делам молодёжи, физкультуры и спорта администрации Октябрьского района Ижевска, в 1995—1996 — председатель комитета по делам молодёжи Администрации Ижевска, в 1996—2001 — председатель Государственного комитета Удмуртской Республики по делам молодёжи.
С 2001 по 2002 годы занимал должность заместителя руководителя Администрации Президента Удмуртской Республики. В 2002 году возглавил региональный исполнительный комитет партии «Единая Россия». 2 декабря 2007 года был избран депутатом Государственного Совета Удмуртской Республики четвёртого созыва по списку партии «Единая Россия».
Указом Главы Удмуртии Александра Соловьёва Андрей Гальцин был назначен руководителем Администрации Главы и Правительства Удмуртской Республики с 23 сентября 2014 года. В марте 2017 года по собственной инициативе был освобождён от занимаемой должности.
Андрей Гальцин скончался в больнице в ночь с 20 на 21 декабря 2020 года; причиной смерти политика стал инсульт. Прощание с Андреем Ивановичем прошло в Александро-Невском кафедральном соборе, он был похоронен в Малой Пурге.