Родился 1 января 1964 г. в Казани.
В 1988 г. окончил Казанское высшее танковое командное училище (ныне - филиал Военного учебно-научного центра Сухопутных войск "Общевойсковая академия ВС РФ", ВУНЦ СВ "ОВА ВС РФ"), в 1997 г. - Военную академию бронетанковых войск им. маршала Советского Союза Р. Я. Малиновского в Москве (в 1998 г. влилась в состав ВУНЦ СВ "ОВА ВС РФ"), в 2009 г. - Военную академию Генерального штаба ВС РФ.
В 1982 г. был призван в ряды Советской армии, проходил срочную службу в войсках противовоздушной обороны (ПВО) Среднеазиатского военного округа. Затем после окончания танкового командного училища служил в частях 26-го армейского корпуса (штаб - Архангельск), был командиром танкового взвода, танковой роты, батальона. Позднее занимал различные должности в Ленинградском военном округе и на Северном флоте.
После окончания бронетанковой академии был направлен в 58-ю общевойсковую армию Северо-Кавказского военного округа (штаб - Владикавказ, Северная Осетия), где служил командиром отдельного танкового батальона. С 1999 г. - начальник штаба, затем командир отдельного 429-го мотострелкового полка 19-й мотострелковой дивизии (Моздок, Северная Осетия).
В начале 2000-х гг. служил начальником штаба 20-й гвардейской мотострелковой дивизии (Волгоград).
В 2003-2006 гг. командовал 205-й отдельной мотострелковой бригадой (Буденновск, Ставропольский край), в 2006-2007 гг. - 20-й гвардейской мотострелковой дивизией.
После окончания Военной академии Генштаба ВС РФ с 2009 г. занимал должность заместителя командующего 58-й армией.
2 апреля 2012 г. был назначен командующим 20-й гвардейской общевойсковой армией Западного военного округа (пос. Мулино, Нижегородская обл., в 2015 г. штаб армии передислоцирован в Воронеж).
В 2014 г. был назначен на должность начальника штаба - первого заместителя командующего войсками Восточного военного округа генерал-полковника Сергея Суровикина.
В 2017 г. занимал пост начальника штаба группировки войск ВС РФ в Сирийской Арабской Республике.
С сентября по ноябрь 2017 г. - начальник ВУНЦ СВ "ОВА ВС РФ".
С ноября 2017 по ноябрь 2022 г. являлся командующим войсками Центрального военного округа (ЦВО).
Одновременно с октября 2018 по январь 2019 г. являлся командующим группировкой войск РФ в Сирийской Арабской Республике.
В 2020 г. окончил факультет переподготовки и повышения квалификации высшего командного состава ВА ГШ ВС РФ.
В ходе Специальной военной операции ВС РФ на Украине командовал группировками войск "Центр" (2022) и "Север" (2024-2025).
10 января 2023 г. источники, близкие к военному ведомству, сообщили, что Александр Лапин был назначен начальником Главного штаба Сухопутных войск ВС РФ.
15 мая 2024 г. генерал-полковник Александр Лапин на встрече с президентом РФ Владимиром Путиным был представлен как командующий вновь созданного Ленинградского военного округа.
21 сентября 2025 г. РБК со ссылкой на источник, знакомый с кадровым решением, сообщил, что генерал-полковник Александр Лапин уволен с военной службы.
С весны 2026 г., согласно открытым источникам, занимал должность заместителя гендиректора инвестиционной компании "Связьинвестнефтехим", которой принадлежат пакеты акций ряда крупных предприятий Татарстана.
29 сентября 2026 г. был назначен и. о. заместителя премьер-министра Республики Татарстан.
Генерал-полковник (2019).
Награжден орденом орденом Святого Георгия IV степени, "За заслуги перед Отечеством" IV степени с мечами, орденом Александра Невского, орденом "За военные заслуги", медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени и др. медалями.
Герой Российской Федерации (2022).