Анзор Ахмедович Музаев родился 8 октября 1974 года в городе Гудермесе Чечено-Ингушской АССР (ныне – Чеченская Республика, РФ).
В 1996 году окончил индустриальный факультет Чеченского государственного педагогического института (ныне – университет). Кандидат технических наук (2001).
В 2000-2002 годах преподавал в Грозненском государственном нефтяном институте (ныне Грозненский государственный нефтяной технический университет имени академика М.Д. Миллионщикова).
С июня 2006 года по январь 2008 года занимал должность ректора Чеченского государственного университета.
В январе 2008 года был назначен на пост министра образования и науки Чечни.
В сентябре 2013 года занял пост заместителя руководителя Федеральной службы по надзору в серии образования и науки (Рособрнадзора).
18 августа 2020 года распоряжением правительства Российской Федерации Анзор Музаев назначен руководителем Рособрнадзора.
Действительный государственный советник Российской Федерации 3 класса.
Почетный работник высшего профессионального образования Российской Федерации.
Заслуженный учитель Чеченской Республики.
Имеет Благодарность правительства РФ (2016).
Сумма задекларированного дохода за 2019 год – 14,119 миллиона рублей (в том числе субсидия на приобретение жилого помещения).
Материал подготовлен на основе информации РИА Новости и открытых источников